Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Для этого надо просто записать её со знаменателем.

Главное правило в переводе десятичной дроби в обыкновенную – как читается десятичная дробь, так и пишется обыкновенная. Например:

2,3 – две целых три десятых

Так как дробь имеет целую часть, то перевести её мы можем или в смешанное число или в неправильную дробь:

2,3 = 23 = 23
1010

Если у десятичной дроби нет целой части, например:

0,75 – ноль целых семьдесят пять сотых,

то её можно сразу перевести в правильную обыкновенную дробь и, если нужно (по необходимости), сократить:

0,75 = 75 = 3
1004

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Не любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, так как чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, надо привести её к знаменателю, представляющему собой единицу с одним или несколькими нулями, например: 10, 100, 1000 и т. д. Если разложить такой знаменатель на простые множители, то получится одинаковое количество двоек и пятёрок:

10 = 2 · 5

100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5

1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

Никаких других простых множителей эти разложения не содержат, следовательно:

Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной только в том случае, если её знаменатель не содержит никаких других множителей, кроме 2 и 5.

Возьмём дробь:

3
4

При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 2:

3 = 3
42 · 2

Если домножить его на две пятёрки, чтобы уравнять количество пятёрок с двойками, то получится один из нужных знаменателей – 100. Чтобы получить дробь равную данной, то числитель тоже надо будет умножить на произведение двух пятёрок:

3 = 3 · 5 · 5 = 75 = 0,75
42 · 2 · 5 · 5100

Рассмотрим ещё одну дробь:

5
14

При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 7, содержащее число 7:

5 = 5
142 · 7

Множитель 7 будет присутствовать в знаменателе, на какие бы целые числа его ни умножали, поэтому произведение, содержащее только двойки и пятёрки никогда не получится. Значит данную дробь нельзя привести ни к одному из нужных знаменателей: 10, 100, 1000 и так далее. То есть её нельзя представить в виде десятичной.

Обыкновенную несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, если её знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Обратите внимание, что в правиле написано только о несократимых дробях, потому что некоторые дроби после сокращения, можно представить в виде десятичных. Рассмотрим две дроби:

5  и  7
1414

Первая дробь является несократимой и, как мы уже выяснили, её нельзя представить в виде десятичной. Во второй дроби числитель и знаменатель можно сократить на 7, то есть на тот простой множитель, который мешает в первой дроби:

7 = 7 : 7 = 1
1414 : 72

Теперь осталось только умножить оба члена дроби на 5, чтобы получить 10 в знаменателе, и можно будет переводить дробь в десятичную:

1 = 1 · 5 = 5 = 0,5
22 · 510