Тождество

Тождество – это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

x(5 + x)   и   5x + x2

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

20 - 8   и   10 + 2

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество – это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

(a + b)m = am + bm
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Числовое тождество – это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 · (4 + 6) = 50

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.