Теорема Виета

Теорема:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x1 + x2 = -p,   x1 · x2 = q

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x2 + px + q = 0

то его корни равны:

теорема виета 8 класс

где D = p2 - 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

формула виета для квадратного уравнения

а теперь найдём их произведение:

формулы Виета

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x1 + x2 = -p

x1 · x2 = q

называются формулами Виета.

Теорема Виета применима к квадратным уравнениям только в том случае, если оно имеет два корня, поэтому, если дискриминант равен нулю, то принято считать, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня. Таким образом, теорема Виета становится верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x2 + px + q = 0

Доказательство:

Пусть дано x1 + x2 = -p,   значит   x2 = -p - x1. Подставим это выражение в равенство   x1 · x2 = q, получим:

x1(-p - x1) = q

-px1 - x12 = q

x12 + px1 + q = 0

Это доказывает, что число x1 является корнем уравнения   x2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x2 является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x2 - 3x + 2 = 0

Решение: так как

x1 + x2 = -(-3) = 3

x1 · x2 = 2

очевидно, что корни равны 1 и 2:

1 + 2 = 3

1 · 2 = 2

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

12 - 3 · 1 + 2 = 0

и

22 - 3 · 2 + 2 = 0

Ответ: 1, 2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x2 + 8x + 15 = 0

Решение:

x1 + x2 = -8

x1 · x2 = 15

Методом подбора находим что корни равны -3 и -5:

-3 + -5 = -8

-3 · -5 = 15

Ответ: -3, -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x1 = -3, x2 = 6.

Решение: так как x1 = -3, x2 = 6 корни уравнения x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3

q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18

Следовательно, искомое уравнение:

x2 - 3x - 18 = 0

Ответ: x2 - 3x - 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x1 = 2, x2 = 3.

Решение:

p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5

q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6

Ответ: x2 - 5x + 6 = 0.