Дробная степень числа

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню, с показателем равным знаменателю и подкоренным числом в степени равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробный степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:


При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:


Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:


Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.