Системы уравнений

Система уравнений – это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные подразумевают одни те же числа. Чтобы показать что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

решение систем уравненийx - 4y = 2
3x - 2y = 16

Решить систему уравнений – это значит найти общие решения для всех уравнений системы или убедится что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

система двух уравненийx - 4y = 2
3x - 2y = 16

Сначала найдём чему равен x в первом уравнении, для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

x - 4y = 2

x = 2 + 4y

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x - 2y = 16
3(2 + 4y) - 2y = 16

Решаем полученное уравнение, чтобы найти чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) - 2y = 16
6 + 12y - 2y = 16
6 + 10y = 16
10y = 16 - 6
10y = 10
 y = 10 : 10
 y = 1

Мы определили что y = 1, теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6

Ответ: x = 6, y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения – это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти какому выражению будет равно одно и тоже неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного, с помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

системы уравнений 7 классx - 4y = 2
3x - 2y = 16

найдём в обоих уравнениях чему равен y (можно сделать и наоборот – найти чему равен x):

x - 4y = 23x - 2y = 16
-4y = 2 - x-2y = 16 - 3x
y = (2 - x) : - 4y = (16 - 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

2 - x = 16 - 3x
-4-2

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

2 - x · (-4) = 16 - 3x · (-4)
-4-2
2 - x = 32 - 6x
2 - x + 6x = 32 - 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

x - 4y = 23x - 2y = 16
6 - 4y = 23 · 6 - 2y = 16
-4y = 2 - 6-2y = 16 - 18
-4y = -4-2y = -2
 y = 1 y = 1

Ответ: x = 6, y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

система уравнений с двумя переменнымиx - 4y = 2
3x - 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x - 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

получим:

x - 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+x  -  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение x (x = 6). Теперь подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то для исключения этого неизвестного нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x - 4y) · 3 = 2 · 3

3x - 12y = 6

получим:

3x - 12y = 6
3x - 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

-3x  -  12y = 6
  3x  -   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение y (y = 1). Теперь подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

3x - 2y = 16
3x - 2 · 1 = 16
3x - 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ: x = 6, y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.