Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x – неизвестное, a и b – числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число bсвободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то разделив обе части уравнения на a, получим . Значит уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень уравнение с одним неизвестным.

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

  • освобождение от дробных членов
  • раскрытие скобок
  • перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные – в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения)
  • сделать приведение подобных членов
  • разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном

Пример 1. Решить уравнение уравнение с 1 неизвестным

Решение:

  1. Освобождаем уравнение от дробных членов:

    4(5x - 7) - 24 = 3(3x + 12)

  2. Раскрываем скобки:

    20x - 28 - 24 = 9x + 36

  3. Переносим члены:

    20x - 9x = 36 + 28 + 24

  4. Выполняем приведение подобных членов:

    11x = 88

  5. Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

    x = 8

  6. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

    решение уравнений с одним неизвестным

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Ответ: x = 8.

Пример 2. Решить уравнение 5(x - 2) = 45

Решение:

  1. Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

    x - 2 = 9

  2. Переносим члены:

    x = 9 + 2

  3. Выполняем приведение подобных членов:

    x = 11

  4. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

    5(11 - 2) = 45;   5 · 9 = 45;   45 = 45

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

5(x - 2) = 45
x - 2 = 9
x = 9 + 2
x = 11

Ответ: x = 11.