Неравенства с одной переменной

Линейное неравенство с одной переменной – это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b     или     ax < b

где x – это переменная, a – коэффициент, а b – свободный член.

Если a > 0, то разделив обе части неравенства на a, получим:

xb     или     xb
aa

Данные неравенства и определяют все значения переменной x, при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

линейные неравенства с одной переменной

Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

если   x ⩾ b   , то   x ∈ [b; +∞)   или если   x ⩽ b   , то   x ∈ (-∞;b]
aaaa

Если a < 0, то разделив обе части неравенства

ax > b     или     ax < b

на a и поменяв в них знак на противоположный, получим:

xb     или     xb
aa

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если a = 0, тогда неравенство примет вид:

0 · x > b     или     0 · x < b

В первом случае: 0 · x > b, x ∈ (-∞; +∞) если b отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений. Во втором случае: 0 · x < b, x ∈ (-∞; +∞) если b положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Равносильные неравенства

Равносильные неравенства – это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:

  1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
  2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
  3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Решение неравенств

Решить неравенство с одной переменной – это значит найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

  • освобождение от дробных членов
  • раскрытие скобок
  • перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных – в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства)
  • приведение подобных членов
  • деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной

Пример 1. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

-8x - 2 > 14

Решение: Переносим -2 в правую часть:

-8x > 14 + 2

-8x > 16

Делим обе части неравенства на -8:

-8x : (-8) < 16 : (-8)

x < -2

Отмечаем множество значений x на координатной прямой:

решение неравенств с одной переменной

Ответ: (-∞; -2)

Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

6(y + 12) ⩾ 3(y - 4)

Решение: Сначала раскрываем скобки:

6y + 72 ⩾ 3y - 12

Переносим 72 в правую часть, а 3y в левую и делаем приведение подобных слагаемых:

6y - 3y ⩾ -12 - 72

3y ⩾ -84

Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):

(3y) : 3 ⩾ (- 84) : 3

y ⩾ -28

Отмечаем множество значений y на координатной прямой:

равносильные неравенства

Ответ: [-28; +∞)