Пропорциональное деление

Пропорциональное делениеделение какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.

Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.

Деление числа на пропорциональные части

Пример 1. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.

Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно каждая такая часть будет равна:

50 : 5 = 10

Число 10 – одна часть, теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:

10 · 2 = 20

10 · 3 = 30

Ответ: 2:3 = 20:30

Пример 2. Разделить число 90 на три слагаемых пропорционально числам 1, 2 и 3.

Решение:

90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15

1 · 15 = 15

2 · 15 = 30

3 · 15 = 45

Ответ: 1:2:3 = 15:30:45

Длинные отношения вида 1:2:3 называются сложными. Сложные отношения – это условные записи, показывающие сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.

Пример. Разделить число 66 на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 3:2, а вторая к третьей, как 5:4.

Решение. Первый способ: обозначим искомые части буквами a, b и c. Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на 5, а второго на 2:

a:b = 3:2 = 15:10    значит a:b:c = 15:10:8
b:c = 5:4 = 10:8

так как 15 + 10 + 8 = 33, то

a = (66 : 33) · 15 = 30

b = (66 : 33) · 10 = 20

c = (66 : 33) · 8 = 16

Второй способ: обозначим искомые части буквами a, b и c:

a:b = 3:2

b:c = 5:4

Если первая часть a равна 3, вторая b равна 2, то третью часть c можно определить из пропорции:

2:c = 5:4

следовательно c равно:

c2 · 4  =  8
55

поэтому

a:b:c = 3:2:8
5

Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:

a:b:c = 15:10:8

так как 15 + 10 + 8 = 33, то

a = (66 : 33) · 15 = 30

b = (66 : 33) · 10 = 20

c = (66 : 33) · 8 = 16

Деление на части обратно пропорциональные числам

Пример. Разделить число 62 на три части обратно пропорционально числам 2, 3 и 5, то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как

1:1:1
235

Решение: Обозначим искомые части буквами a, b и c. Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:

a:b:c1:1:1  =  15:10:6  = 15:10:6
235303030

так как 15 + 10 + 6 = 31, то

a = (62 : 31) · 15 = 30

b = (62 : 31) · 10 = 20

c = (62 : 31) · 6 = 12