Равносильные уравнения

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

x2 + 2 = 3x   и   x2 - 3x + 2 = 0

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 – это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, тоже считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

x2 + 5 = 9

можно преобразовать в такое:

5 + x2 = 9

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

2x + 3x = 15

заменив его равносильным уравнением

5x = 15

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

  1. Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение равносильное данному.

    Рассмотрим уравнение x - 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5

    x - 5 + 5 = 7 + 5

    получим уравнение x = 12. Если в уравнение x - 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

    Из данного свойства можно вывести три следствия:

    • Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).

      Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим

      x = 10

    • Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

      Рассмотрим уравнение 5x - 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:

      5x - 4 + 4 = 12 + x + 4

      получим:

      5x = 12 + x + 4

      то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x - 4 = 12 + x по x:

      5x - 4 - x = 12 + x - x

      получим:

      5x - 4 - x = 12

      то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.

    • Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.

      Перенесём все члены левой части уравнения 5x - 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:

      -12 - x = -5x + 4

      а учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то поменяв левую часть с правой получим:

      -5x + 4 = -12 - x

      То есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.

      Данное преобразование можно также рассматривать, как умножение обеих частей уравнения на -1.

  2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение равносильное данному.

    Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3

    3x : 3 = 12 : 3

    получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

    Из данного свойства можно вывести два следствия:

    • Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом упростив его.

      Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:

      2x + 1 = 5

    • Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.

      Возьмём уравнение:

      После приведения всех членов к общему знаменателю, получим:

      Теперь, умножив все члены уравнения на 4 или, что тоже самое, просто отбросив знаменатель, получим:

      4x + 12 - x = 2(26 - x)