Сложение и вычитание одночленов

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab2  и  -7ab2подобные одночлены

5a2b  и  5abне подобные одночлены

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:

5abb  и  -7b2a

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:

5ab2  и  -7ab2

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:

5a2bc  и  -5a2bc – противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов – это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены надо:

  1. Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
  2. Привести все одночлены к стандартному виду
  3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении
  4. Привести подобные слагаемые, для этого нужно:
    1. сложить их численные множители
    2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Пример 1. Сложить одночлены  12ab,  -4a2b и  -5ab.

Решение: составим сумму одночленов:

12ab + (-4a2b) + (-5ab)

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

12ab - 4a2b - 5ab

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab - 4a2b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a2b = 7ab - 4a2b

Пример 2. Сложить одночлены  5a2bc и  -5a2bc.

Решение: составим сумму одночленов:

5a2bc + (-5a2bc)

Раскроем скобки:

5a2bc - 5a2bc

Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a2bc - 5a2bc = (5 - 5)a2bc = 0a2bc = 0

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов надо:

  1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
  2. Привести все одночлены к стандартному виду
  3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении
  4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
    1. сложить их численные множители
    2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Пример. Найти разность одночленов  8ab2,  -5a2b и  -ab2.

Решение: составим разность одночленов:

8ab2 - (-5a2b) - (-ab2)

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

8ab2 + 5a2b + ab2

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

8ab2 + 5a2b + ab2 = (8 + 1)ab2 + 5a2b = 9ab2 + 5a2b

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.