Неравенства

Неравенство – это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком <, >, ⩽ или ⩾. То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки <>, и называются знаками неравенства.

Виды неравенств и как они читаются:

a < b -  a меньше b
a > b -  a больше b
ab -  a меньше или равно b (a не больше b)
ab -  a больше или равно b (a не меньше b)

Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств их делят на строгие и нестрогие.

Строгие неравенства – неравенства, у которых части соединены знаком < или >. Нестрогие неравенства – неравенства, у которых части соединены знаком ⩽ или ⩾.

Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:

  • Любое положительное число больше нуля
  • Любое отрицательное число меньше нуля
  • Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютное значение меньше. Например, -1 > -7.
  • Если разность двух неравных чисел a и b положительна:

    a - b > 0

    то a больше b (a > b)
  • Если разность двух неравных чисел a и b отрицательна:

    a - b < 0

    то a меньше b (a < b)
  • Если число больше нуля, то оно положительное:

    a > 0, значит a – положительное число

  • Если число меньше нуля, то оно отрицательное:

    a < 0, значит a – отрицательное число

Равносильные неравенства – неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если a меньше b, то b больше a:

a < b  и  b > a – равносильные неравенства

Свойства неравенств

  1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство, то есть

    если   a > b, то   a + c > b + c   и   a - c > b - c

    Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства   a - b > c - d   по d, получим:

    a - b > c - d

    a - b + d > c - d + d

    a - b + d > c

  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство, то есть
    если   a > b, то   ac > bc   и    a > b
    cc
  3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному, то есть
    если   a > b   умножить на   -c, то   -ac < -bc   и    -a < -b
    cc
    Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.

    Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на -1 и изменяя знак неравенства на противоположный:

    -a + b > -c

    (-a + b) · -1 < (-c) · -1

    a - b < c

    Неравенство -a + b > -c равносильно неравенству a - b < c