Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

  ax2 + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,   если   c = 0
ax2 + c = 0,   если   b = 0
ax2 = 0,   если   b = 0   и   c = 0

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида   ax2 + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

x(ax + b) = 0

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0

Чтобы   ax + b   было равно нулю, нужно, чтобы

x = -b
a

Следовательно, уравнение   ax2 + bx = 0   имеет два корня:

x1 = 0   и   x2 = -b
a

Неполные квадратные уравнения вида   ax2 + bx = 0,   где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a2 - 12a = 0

Решение:

a2 - 12a = 0
a(a - 12) = 0
a1 = 0      a - 12 = 0
a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x2 = x

Решение:

7x2 = x
7x2 - x = 0
x(7x - 1) = 0
x1 = 0      7x - 1 = 0
7x = 1
x21
7

Чтобы решить уравнение вида   ax2 + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

ax2 = -c,   следовательно   x2 = -c
a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид   x2 - c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x2 = c

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x1 = +√c,   x2 = -√c

Неполное квадратное уравнение вида   ax2 + c = 0,   где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y2

Решение:

24 = 2y2
24 - 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12      y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b2 - 16 = 0

Решение:

b2 - 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4      b2 = -4

Уравнение вида   ax2 = 0, всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из   ax2 = 0   следует, что   x2 = 0, значит и   x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.