Множества

Множество – совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита – от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Элемент множества – это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака . Запись

5∈Z

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество – множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество – это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера – это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8}   и   M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

знак подмножества

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком :

LM

Запись LM читается так: множество L является подмножеством множества M.

Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6}   и   M = {4, 6, 2}

так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств – это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19}, то   LM = {3, 11}.

пересечение множеств знак

Запись LM читается так: пересечение множеств L и M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},

то   LM = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

знак объединения множеств

Запись LM читается так: объединение множеств L и M.

При объединении равных множеств, объединение будет равно любому из данным множеств:

если L = M,   то   LM = L   и   LM = M.