Вынесение общего множителя за скобки

Разложение многочлена на множители - это преобразование многочлена в произведение, равное данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них – вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки - это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево:

ab + ac = a(b + c)

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

  1. Если у каждого члена есть коэффициент, то находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
  2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
  3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. Обратите внимание, что многочлен в скобках должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения общего множителя за скобки на примере многочлена:

20a2bc2 - 10a3c + 15a2b2c

  1. Рассматриваем коэффициенты 20, 10 и 15, нам нужно найти для них наибольший общий делитель, для данных чисел он равен 5. Число 5 и будет общим множителем для всех коэффициентов.
  2. Буквенный множитель a есть во всех трёх членах. Возьмём его во второй степени (a2), так как это его наименьшая степень, встречающаяся в членах многочлена. По такому же принципу возьмём множители c.
  3. Множитель b встречается только в двух членах из трёх, поэтому его мы в общий множить включить не сможем.

В итоге мы получили следующие общие множители 5, a2 и c. Их произведение 5a2c представляет наибольший общий множитель, который будет вынесен за скобки.

5a2c( ... )

Теперь надо вычислить многочлен, который должен быть в скобках. Для этого надо разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель, который мы нашли:

20a2bc2  = 4bc
5a2c

10a3c  = 2a
5a2c

15a2b2c  = 3b2
5a2c

Следовательно:

20a2bc2 - 10a3c + 15a2b2c = 5a2c(4bc - 2a + 3b2)

Обратите внимание, что вынесение общего множителя за скобки – это действие обратное умножению одночлена на многочлен:

5a2c(4bc - 2a + 3b2) = 20a2bc2 - 10a3c + 15a2b2c

Примеры разложения многочлена на множители

Пример 1. Вынесите общий множитель за скобки:

а) a - ab     б) 6xy + 2x

Решение:

а) a - ab = a · 1 - ab = a(1 - b)

б) 6xy + 2x = 6xy + 2x · 1 = 2x(3y + 1)

Пример 2. Сократите дробь:

а) 6x + 6y     б) 8b
9x4a - 4b

Решение:

а) 6x + 6y = 6(x + y) = 2(x + y)
9x9x3x

б) 8b = 8b = 2b
4a - 4b4(a - b)a - b