Многочлены

Что такое многочлен

Многочлен или полином – это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например, выражения:

a - b + c,   x2 - y2,   5x - 3y - z   – многочлены

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена. Рассмотрим многочлен:

7a + 2b - 3c - 11

выражения: 7a, 2b, -3c и -11 – это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 он не содержит переменной, такие члены, состоящие только из числа, называются свободными.

Принято считать, что любой одночлен это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия – двучлен и трёхчлен соответственно:

              7a   –   одночлен

     7a + 2b   –   двучлен

7a + 2b - 3c   –   трёхчлен

Подобные члены

Подобные члены - одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом, знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:

3a2b + 5abc2 + 2a2b - 7abc2 - 2a2b

члены 3a2b, 2a2b и -2a2b, так же как и члены 5abc2 и -7abc2 - это подобные члены.

Приведение подобных членов

Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов. Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:

(3a2b + 2a2b - 2a2b) + (5abc2 - 7abc2)

Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:

((3 + 2 - 2)a2b) + ((5 - 7)abc2) = (3a2b) + (-2abc2) = 3a2b - 2abc2

Приведение подобных членов – это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.

Многочлен стандартного вида

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:

3xy + x3 - 2xy - y + 2x3

Сначала найдём подобные члены:

3xy + x3 - 2xy - y + 2x3

А теперь сделаем приведение:

3xy + x3 - 2xy - y + 2x3 = xy + 3x3 - y

Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место – справа.

Например, многочлен

3x + x3 - 2x2 - 7

должен быть записан так:

x3 - 2x2 + 3x - 7