Способ группировки

Способ группировки – это способ разложения многочлена на множители, применяемый в тех случаях, когда члены многочлена не имеют общего множителя. Разложение способом группировки проходит в три этапа:

  1. Группируем с помощью скобок члены многочлена, имеющие общий множитель
  2. Выносим общий множитель каждой группы за скобки
  3. Выносим за скобки общий множитель всех получившихся произведений. В данном случае общий множитель будет многочленом.

Рассмотрим многочлен:

x2 + ax + bx + ab

Его члены не имеют общего множителя, но мы можем сгруппировать их так, чтобы в каждой отдельной группе был общий множитель, который можно будет вынести за скобки:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) = x(x + a) + b(x + a)

Каждое получившееся произведение имеет общий множитель  x + a, который теперь тоже можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)

Таким образом:

x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b)

Заметим, что можно сгруппировать слагаемые иначе:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b)

В обоих случаях группировки мы пришли к тому, что в нашем выражении появился общий многочленный множитель, который можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)

x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a)

Обратите внимание, что разница в начальной группировке членов не повлияла на результат разложения многочлена на множители.

Примеры разложения многочлена на множители

Пример 1. Представьте выражение в виде произведения:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b)     б) x(x + y) + (x + y)

Решение:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b) = (a - b)(2a + 3b)

б) x(x + y) + (x + y) = (x + y)(x + 1)

Пример 2. Разложите на множители:

а) 3x + 3y + z(x + y)     б) 2(a + b) + ac + bc

Решение:

а) 3x + 3y + z(x + y) = (3x + 3y) + z(x + y) =
= 3(x + y) + z(x + y) = (x + y)(3 + z)

б) 2(a + b) + ac + bc = 2(a + b) + (ac + bc) =
= 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c)