Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

x2b xc = 0
aa

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов обозначив их буквами p и q:

если  b = p,  а c = q,  то получится   x2 + px + q = 0
aa

Уравнение   x2 + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x - 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x - 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x2 - 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0

ax2 + 2kx + c = 0

x2 + px + q = 0

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравненияФормула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0
или
если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение   ax2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 + 7x + 2 = 0

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = 7, c = 2

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1-2 = -1,   x2-12 = -2
636
Ответ: -1,   -2.
3

Пример 2:

x2 - 4x - 60 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -60

Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 - 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y - 25

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y - 25

y2 + 11y - y + 25 = 0

y2 + 10y + 25 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x2 - 7x + 6 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (49 + 5) : 2 = 27,   x2 = (49 - 5) : 2 = 22

Ответ: 27, 22.