Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Выражение (a + b)2 - это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.

Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2

Квадрат разности

Выражение (a - b)2 - это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a - b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a - b)(a - b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Многочлен a2 - 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a2 - 5ab2)2

Решение: используя формулу квадрата разности находим:

(2a2 - 5ab2)2 = (2a2)2 - 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a2)2 - 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 - 20a3b2 + 25a2b4

Разность квадратов

Выражение a2 - b2 - это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 - b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a - b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно - как сумма двух чисел, а другое - как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a2 + 3)(5a2 - 3)

Решение:

(5a2 + 3)(5a2 - 3) = (5a2)2 - 32 = 25a4 - 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.