Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число, отличное от нуля.

Числа, составляющие прогрессию, называются её членами. Число, на которое следует умножить предыдущий член, чтобы получить последующий, называется знаменателем геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии может быть положительным или отрицательным.

Для определения знаменателя данной геометрической прогрессии, надо последующий член разделить на предыдущий (например, второй член разделить на первый).

Геометрическую прогрессию можно определить и так: числовая последовательность a1, a2, a3, ..., an, ... называется геометрической прогрессией, если для любого n

an+1 = an · q

где q – знаменатель прогрессии, n – порядковый номер члена.

Прогрессия называется возрастающей, если модуль числа |q| > 1, и убывающей, если |q| < 1.

Примеры:

5, 15, 45, 135 – возрастающая прогрессия со знаменателем 3

4,  -2,  1,  - 1   – убывающая прогрессия со знаменателем  - 1
22

Формула n-го члена

Если знаменатель прогрессии a1, a2, a3, ... равен q, то по определению геометрической прогрессии

a2 = a1 · q

a3 = a2 · q = (a1 · q) · q = a1 · q2

a4 = a3 · q = (a1 · q2) · q = a1 · q3

и так далее. Значит при n > 1

an = a1 · qn-1

n-ый член геометрической прогрессии равен произведению её первого члена на знаменатель прогрессии в степени n-1.

Данная формула называется формулой общего члена геометрической прогрессии. Например для прогрессии

1, 2, 4, 8, 16, ...
a1 = 1, q = 2

следовательно

a10 = a1 · q9 = 1 · 29 = 512