Свойства степени с натуральным показателем

Возведение произведения в степень

Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере.

По определению степени:

произведение и частное степеней

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

свойства степеней с натуральным показателем

Группируем отдельно множители a и множители b, и получаем:

свойства степени с натуральным показателем 7 класс

Воспользовавшись определением степени, находим:

тема свойства степени с натуральным показателем

Следовательно:

(ab)n = anbn

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного, надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

возведение частного в степень

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

возведение дроби в степень

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести 72 в третью степень:

(72)3

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(ax)y = axy

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x5)3;      б) 2(n3)5;      в) -4(a4)2

Решение:

а) (x5)3 = x5 · 3 = x15         
б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15   
в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)4;      б) (3bc)3;      в) (-6a4b)2

Решение:

а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4                        
б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3                                 
в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2

Пример 3. Возведите дробь в степень:

а) (2a )2;      б) (-xy )5;      в) (a2b)3
5z2c3

Решение:

а) (2a )2(2a)2 = 4a2
55225

б) (-xy)5 = -(xy)5 = -x5y5
zz5z5

в) (a2b)3(a2b)3 = (a2)3 · b3 = a6b3
2c3(2c3)323 · (c3)38c9