Умножение и деление степеней

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень - это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
3 множ.2 множ.5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6

Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6)

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5;      б) xxn;      в) amam

Решение:

а) nxn5 = nx + 5              
б) xxn = xn + 1                
в) amam = am + m = a2m

Пример 4. Упростите выражение:

а) -a2 · (-a)2 · a;      б) -(-a)2 · (-a) · a

Решение:

а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5
б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5

где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

n12
n5

Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:

n12 = n7 · n5 =  n7
n5n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) a5;      б) m18
am10

Решение:

а) a5 = a4 · a = a4
a a

б) m18 = m8 · m10 = m8
m10 m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2;      б) n10 : n5;      в) a30 : a10

Решение:

а) x7 : x2 = x7 - 2 = x5         
б) n10 : n5 = n10 - 5 = n5     
в) a30 : a10 = a30 - 10 = a20

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8
a2mb3

Решение:

а) an = an - 2
a2

б) mx = mx - 1
m

в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10
b3b3