Действия с рациональными числами

Сложение

При сложении двух рациональных чисел с одинаковым знаком складываются их модули и перед суммой ставится их общий знак.

Пример 1. Найти сумму 2,5 + 3,2.

Решение. Так как модуль положительного числа равен самому числу, то в данном примере числа можно просто сложить:

2,5 + 3,2 = 5,7

Пример 2. Найти сумму (-2,5) + (-3,2).

Решение. Сначала надо сложить модули слагаемых:

2,5 + 3,2 = 5,7

Так как сумма двух отрицательных чисел должна быть отрицательным числом, то решение будет выглядеть так:

(-2,5) + (-3,2) = -5,7

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух рациональных чисел с разными знаками нужно взять их модули и из большего вычесть меньший, в результате ставится знак того числа, у которого модуль больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Примеры:

(-4,7) + (+12) = 7,3,   так как   12 - 4,7 = 7,3

9 + (-15) = -6,   так как   15 - 9 = 6

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

(-7) + 7 = 0

Вычитание

Вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным:

(+10) - (+3,4) = (+10) + (-3,4) = 6,6

(+10) - (-3,4) = (+10) + (+3,4) = 13,4

(-10) - (-3,4) = (-10) + (+3,4) = -6,6

(-10) - (+3,4) = (-10) + (-3,4) = -13,4

Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Умножение

При умножении двух рациональных чисел умножаются их модули. Перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные:

3 · 5 = 15

3 · (-5) = -15

-3 · 5 = -15

-3 · (-5) = 15

Ниже представлена схема (правило знаков при умножении):

+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +

Из данных примеров следует, что в результате умножения двух чисел с разными знаками получится отрицательное число, а результате умножения двух чисел с одинаковыми знаками – положительное.

При умножении любого числа на -1 получится число противоположное данному:

-1,5 · (-1) = 1,5

2,5 · (-1) = -2,5

Деление

При делении одного рационального числа на другое делят модуль первого числа на модуль второго. Перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные:

15 : 5 = 3

15 : (-5) = -3

-15 : 5 = -3

-15 : (-5) = 3

При делении используется то же правило, что и для умножения. Ниже представлена схема (правило знаков при делении):

+ : + = +
+ : - = -
- : + = -
- : - = +

Из данных примеров следует, что частное двух чисел с разными знаками – отрицательное число, а частное двух чисел с одинаковыми знаками – положительное число.

При делении любого числа на -1 получится число противоположное данному:

-1,5 : (-1) = 1,5

2,5 : (-1) = -2,5