Числовые промежутки

Числовые промежутки или просто промежутки – это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

НазваниеИзображениеНеравенствоОбозначение
Открытый лучоткрытый лучx > a(a; +∞)
интервал отрезок луч открытый лучx < a(-∞; a)
Замкнутый лучзамкнутый лучxa[a; +∞)
промежутки числовой прямойxa(-∞; a]
Отрезокнеравенства числовые промежуткиaxb[a; b]
Интервалвиды числовых промежутковa < x < b(a; b)
Полуинтервалчисловые промежутки примерыa < xb(a; b]
ax < b[a; b)

В таблице a и b – это граничные точки, а x – переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка – это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие – закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:

множества точек на координатной прямой 7 класс

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок – (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

множество точек на числовой прямой

Замкнутый луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства   x ⩾ 2   и   x ⩽ 2   можно изобразить так:

замкнутый луч с началом в точке 2

Обозначаются данные замкнутые лучи так: [2; +∞) и (-∞; 2], читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством   -2 ⩽ x ⩽ 3   или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

числовые промежутки интервал

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством   -2 < x < 3   или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервал – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.