Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата), и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

a · c = ac          (b≠0 и d≠0)
bdbd

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2 · a + b
a2 - b2a

Решение: перед тем как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители – это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2 · a + b = 2a2 · a + b = 2a2(a + b)
a2 - b2a(a + b)(a - b)a(a + b)(a - b)a

теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b) = 2a
(a + b)(a - b)aa - b

Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) · x - 2
x + 3

Решение:

(2x + 6) · x - 2 = (2x + 6)(x - 2)
x + 3x + 3

разложим первый многочлен числителя на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x - 2) = 2(x + 3)(x - 2) = 2(x - 2) = 2x - 4
x + 3x + 3

Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a · b = ab    или    b · a = ab          (c≠0)
cccc

Возведение алгебраических дробей в степень

Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.

Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:

(a)nan
bbn

Пример. Выполнить возведение в степень:

а) (a2)3               б) (-2x3)2
by2

Решение:

а) (a2)3(a2)3 = a6
b(b)3b3

б) (-2x3)2(2x3)2 = 4x6
y2(y2)2y4

Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.

Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:

a : c = a · d = ad
bdbcbc

Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.

Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:

ab + ac : ab - ac
bcbc

Решение: переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:

ab + ac : ab - ac = ab + ac · bc = (ab + ac)bc
bcbcbcab - acbc(ab - ac)

теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:

(ab + ac)bc = ab + ac = a(b + c) = b + c
bc(ab - ac)ab - aca(b - c)b - c

Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.

Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:

ab = a · c = ac
cbb

Пример. Выполнить деление:

6xy2x
y

Решение:

6xy2x = 6xy2 · y = 6y3
yx

Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.

Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:

a : ca : c = a · 1 = a
bb1bcbc

Пример. Выполнить деление:

2xy : 6y
3

Решение:

2xy : 6y2xy : 6y = 2xy · 1 = 2xy = x
33136y18y9