Сложение и вычитание алгебраических дробей

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

а)  a + 3 + a - 3        б)  2b - 1 + b + 4
bb22

Решение: складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)  a + 3 + a - 3 = (a + 3) + (a - 3) = a + 3 + a - 3 = 2a
bbbbb

б)  2b - 1 + b + 4 = (2b - 1) + (b + 4) = 2b - 1 + b + 4 = 3b + 3
22222

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

а)  x + 5 - 5x        б)  a + b - a + 4
33a - 5a - 5

Решение: вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

а)  x + 5 - 5x = x + 5 - 5x = 5 - 4x
3333

б)  a + b - a + 4 = (a + b) - (a + 4) = a + b - a - 4 = b - 4
a - 5a - 5a - 5a - 5a - 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:

a + b  =  a + b     и     a - b  =  a - b          (c≠0)
cccccc

Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:

a = -a
b-b

Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:

a = -a = -a = --a
b-b-bb

Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:

-a = -a = a
bb-b

Пример 1. Найдите сумму дробей:

5a + 3a
b - cc - b

Решение: чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

5a + 3a = 5a - 3a = 5a - 3a = 2a
b - cc - bb - c-(c - b)b - cb - cb - c

Пример 2. Найдите разность дробей:

n + 5 - 2n
n2 - mm - n2

Решение: чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью в её знаменатель:

n + 5 - 2n = n + 5 + 2n = n + 5 + 2n = 3n + 5
n2 - mm - n2n2 - m-(m - n2)n2 - mn2 - mn2 - m

Сложение и вычитание с разными знаменателями

Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями надо:

  • найти общий знаменатель
  • привести алгебраические дроби к общему знаменателю
  • выполнить сложение или вычитание
  • сократить полученную дробь, если это возможно

Пример 1. Выполните сложение дробей:

2a + b
a + ba - b

Решение: находим общий знаменатель, он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(a - b)

Как находить общий знаменатель вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(a - b) = 2a2 - 2ab

b(a + b) = ab + b2

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

2a + b = 2a2 - 2ab + ab + b2 = 
a + ba - ba2 - b2a2 - b2

 = 2a2 - 2ab + ab + b2 = 2a2 - ab + b2
a2 - b2a2 - b2

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

b - 2
a2 - aba - b

Решение: разложим знаменатель первой дроби на множители:

a2 - ab = a(a - b)

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:

2 · a = 2a

Получаем:

b - 2 = b - 2a = b - 2a
a2 - aba - ba(a - b)a(a - b)a(a - b)

Пример 3. Выполните сложение:

xx2
1 - x

Решение: запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 - x:

xx2 = x + x2 = x(1 - x) + x2 = x - x2 + x2
1 - x11 - x1 - x1 - x1 - x1 - x

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

x - x2 + x2 = x - x2 + x2 = x
1 - x1 - x1 - x1 - x

Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.