Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется по тем же правилам, что и приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Следовательно, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю нужно:

  • найти общий знаменатель для данных дробей
  • найти дополнительный множитель для каждой дроби
  • умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель
  • записать дроби с найденными новыми числителями и общим знаменателем

Чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей надо разложить знаменатель каждой дроби на множители и взять каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.

Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:

2b,    c     и    a
3a22b6ab

Решение: Разложим знаменатели дробей на множители:

3a2 = 3 · a2

2b = 2 · b

6ab = 2 · 3 · a · b

Выпишем множители первого знаменателя и добавим к ним недостающие множители из второго и третьего знаменателя:

3 · a2 · 2 · b = 6a2b

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь чтобы привести дроби к общему знаменателю нам надо найти для каждой дроби дополнительный множитель, для этого нужно разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:

6a2b : 3a2 = 2b

6a2b : 2b = 3a2

6a2b : 6ab = a

Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель:

2b · 2b = 4b2

c · 3a2 = 3a2c

a · a = a2

Осталось записать дроби с найденными новыми числителями и их общим знаменателем:

4b2,    3a2c     и    a2
6a2b6a2b6a2b

Пример 2. Привести дроби к общему знаменателю:

3a     и    4
a - 2a2 - 4

Решение: Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:

a2 - 4 = a2 - 22 = (a + 2)(a - 2)

Получившееся произведение и будет общим знаменателем для данных дробей. Значит для приведения дробей к общему знаменателю нам нужно только умножить числитель первой дроби на сумму чисел (a + 2)

3a · (a + 2) = 3a2 + 6a

В результате у нас получилось:

3a2 + 6a     и    4
(a + 2)(a - 2)(a + 2)(a - 2)

Произведение суммы и разности чисел a и 2 можно обратно свернуть в квадрат разности для более краткой записи дробей:

3a2 + 6a     и    4
a2 - 4a2 - 4