Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь – это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.

Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:

a
b

где a и b – это многочлены и b≠0.

Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:

(a + 3) : (a2 + 9) = a + 3
a2 + 9

Примеры алгебраических дробей:

a + 3;     7;     1
a2 + 9x2

Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:

a2 + 9 = a2 + 9;     15 = 15;     x2 + 2xy + y2x2 + 2xy + y2
111

Сокращение алгебраических дробей

Основное свойство алгебраической дроби:

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь равная данной.

В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:

a = a · c      и      a = a : c
bb · cbb : c

где c≠0.

Используя основное свойство алгебраических дробей выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.

Пример 1. Сократить дробь:

ab2 + bc
ab2

Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:

ab2 + bc = b(ab + с) = ab + с
ab2b · abab

Пример 2. Упростить дробь:

3x(a + b)
x2(b - a)

Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:

3x(a + b) = 3(a + b)
x2(b - a)x(b - a)

Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены заключённые в скобки:

a + b    и    b - a

Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b - a знак на противоположный и переставить члены местами:

b - a = -(-b + a) = -(a - b)

Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:

3(a + b) = 3(a + b) = -3
x(b - a)-x(a + b)x

Пример 3. Сократите дробь:

24ab3c5
16a5b3c

Решение: числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен – это произведение, состоящее из множителей, значит можно сразу переходит к сокращению:

  • Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел 24 и 16 – это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 – 2.
  • Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
    • a и a5 сокращаем на a. Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a4.
    • b3 и b3 сокращаем на b3, единицы в результат не записываем.
    • c5 и c сокращаем на c, в числитель пишем c4 в знаменатель не пишем ничего.

Следовательно:

24ab3c5 = 3c4
16a5b3c2a4